Ejemplos bases para una topología

Ejemplo 4

Dado cualquier conjunto $X$, $\mathcal{B}=\{\{x\}:x\in X\}$ es una base para la topología discreta ${\mathcal{T}}_D$.

Ejemplo 5

La colección de intervalos abiertos ${\mathcal{B}}_u=\{(a,b):a,b\in \mathbb{R},a<b\}$ es una base para $(\mathbb{R},{\mathcal{T}}_u)$^[1].

Ejemplo 6

La colección ${\mathcal{B}}_{li}=\{[a,b):a,b\in \mathbb{R},a<b\}$ es una base para la llamada topología del límite inferior ${\mathcal{T}}_{li}$ sobre $\mathbb{R}$. Cuando $\mathbb{R}$ esté dotada de esta topología, se denotará por ${\mathbb{R}}_{li}$. De forma similar, se define la topología del límite superior ${\mathcal{T}}_{ls}$.

Ejemplo 7

En $\mathbb{R}$ consideremos un subconjunto cualquiera $K$. La colección $\mathcal{B}={\mathcal{B}}_u\cup \{(a,b)\setminus K:a,b\in \mathbb{R},a<b\}$ es una base para la K-topología sobre $\mathbb{R}$. Cuando $\mathbb{R}$ tenga esta topología, se denotará por ${\mathbb{R}}_K$.

Ejemplo 8

Sea $(X,d)$ un espacio métrico. La colección formada por todas las bolas abiertas $\mathcal{B}=\{B_d(x,\epsilon ):x\in X,\epsilon >0\}$ es una base para la topología métrica ${\mathcal{T}}_d=\mathcal{T}(\mathcal{B})$.